Войти

Лиха беда начало. Самый простой объект управления.

Сначала у меня было желание начать свое повествование с экскурса в теорию линейных систем автоматического управления. Вот я беру учебник, например «» и… Я представляю, как начинает рыдать над этим учебником третьекурсник, например, Военмеха. Сплошные формулы, обобщения, матрицы, модели чего такого и все это, как правило, накануне экзамена.

Конечно, мне очень нравиться эта стройная теория, я ее очень люблю, но не использую. Потому что для простых систем управления эта теория практически бесполезна. Я даже смею утверждать, что ее изучение, без предварительной экспериментальной подготовки вредна для юных неокрепших умов, так как вносит диссонанс между изучаемой теорией и наблюдаемой действительностью . Но это мое личное мнение.

Однако же с чего то начинать надо, поэтому вспоминаем седьмой класс школы по физике с того места, где встречается термин «материальная точка». Второй закон Ньютона как раз про нее. А что бы вспоминалось побыстрей решим следующую задачу - попробуем, например, разработать систему управления для тележки, снабженную приводом, который создает тягу- силу, которая может либо разгонять, либо тормозить тележку.

Рисунок 2. Иллюстрация к задаче автоматического управления тележкой

Уточним и формализуем поставленную задачу. И так будем считать, что наша тележка двигается строго по горизонтальной прямой, как это показано на рисунке 2, и ее положение определяется координатой  x .  Массаm заранее известна. В начальный момент времени тележка находится в исходном положении с координатой x_0. Нам же необходимо, что бы тележка как можно быстро переместилась в положение с координатой x_g. Это положение будем называть “заданным”. 

Тяга привода  F имеет ограничение, которое обозначим через F_{max} . Тяга привода не может превышать эту величину, независимо от того, в какую сторону она направлена:  -F_{max} \geq F \geq F_{max} .

Задачу управления сформулируем следующим образом: необходимо обеспечить такую тягу привода , что бы тележка максимально быстро переместилась из исходного положения x_0 в заданное положение x_g.

Тут следует обратить внимание на наиважнейший нюанс («до свидания теория линейного управления») ТЯГА ПРИВОДА ОГРАНИЧЕНА. То есть привод не может толкать нашу тележку, с какой угодно большой силой. Наверно ни кто не будет спорить, что подобного рода ограничение будет справедливо для привода любой природы, будь то электроника, гидравлика, механика или пневматика. И для наномоторов неизвестной мне природы это будет то же справедливо (наверное).

Математическая модель, описывающая физический закон движения нашей тележки, действующие в рамках указанных допущений будет выглядеть следующим образом:  \ddot{x}=\frac{F}{m}.  

Этот закон называется, как вы наверное уже вспомнили- второй закон Ньютона. Как закон звучит в оригинале я и сам не помню, однако смысл его состоит в том, что ускорение материальной точки пропорционально сумме всех действующих на нее сил и обратно пропорционально массе. Напомню, что две точки над переменной  x обозначают вторую производную координаты по времени. Еще эта величина называется «ускорение». В учебнике физики та величина обозначается буквой a. Однако я буду пользоваться обозначением второй производной. Потому что рано или поздно мы перейдем к общему виду и физический смысл координаты x потеряет свое пространственное значение. А вот алгоритмы и идеи останутся практически такими, какими они будут получены для материальной точки.

Если выражение «вторая производная», пока что (или уже), мало о чем вам говорит, то, наверное, лучше остановиться на прочтении этой главы и полистать учебник по алгебре или в каком ни будь интернетовском поисковике наберите «производная для школьников». Лично я рекомендую школьный видеокурс на сайте «http://teachpro.ru». Там же освежите в памяти курс по интегралам, потому что именно через интегралы мы запишем закон движения нашей тележки:

\dot{x}(t)=\dot{x}_0+\int_{0}^{t}{\ddot{x}(\tau)d\tau},

x(t)=x_0+\int_{0}^{t}{\dot{x}(\tau)d\tau}

Эти формулы показывают, какую величину примут координата и ее производная в момент времени  t, если в нулевой момент времени тележка находилась в координате  x_0, скорость тележки в нулевой момент времени была равной  \dot{x}_0 и на нее все это время действовала сила, подчиняющаяся закону F(t).

Теперь осталось сделать следующий шаг, а именно нарисовать СТРУКТУРНУЮ СХЕМУ, представляющую динамику нашей тележки. Структурная схема реализует принцип «лучше один раз увидеть» и позволяет легко осознать, освоить и запомнить главные особенности физических законов, лежащих в основе движения тележки и системы ее управления.

Принцип построения структурной схемы весьма прост. Каждый блок структурной схемы описывает некоторое преобразование одной величины в другую. Например блок «коэффициент усиления» (Gain, как это показано на рисунке 3 , может описать соотношение силы, действующей на тележку и ее ускорение.

 \ddot{x}=\frac{F}{m}\rightarrow

Рисунок 3. Элемент структурной схемы- коэффициент усиления.


Мы знаем, что скорость есть интеграл ускорения, на структурной схеме это будет выглядеть так, как показано на рисунке 4.


\dot{x}(t)=\dot{x}_0+\int_{0}^{t}{\ddot{x}(\tau)d\tau} \rightarrow

Рисунок 4. Элемент структурной схемы- интегратор.


Вы наверное обратили внимание, что блок, обозначающий интегрирование входной величины обозначен через ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА s. Что бы на данном этапе не усложнять себе жизнь и окончательно не запутаться, воспринимайте этот оператор, как символ, обозначающий дифференцирование по времени, соответственно \frac{1}{s}- интегрирование. Например закон Ньютона, когда масса и сила постоянны, в операторной форме будет выглядеть следующим образом:s^{2}x=\frac{F}{m} , или, что равносильно, :x=\frac{1}{s^{2}}\frac{F}{m}. Отсюда и такое обозначение блока, производящего интегрирование входного сигнала, которое очень часто встречается в литературе и в компьютерных программах, например в MATLAB. Про операторы пока забудем, рано еще. Но при случае про это дело прочитайте – пригодится. Однако в, вернемся к структурной схеме. В целом, структурная схема динамики нашей тележки представлена на рисунке 5.

Рисунок 5. Структурная схема динамики тележки.

Обратите внимание, что в структурной схеме появилась еще одна величина u, которая называется «сигнал управления». Этот сигнал является безразмерным и изменяется в диапазоне от -1 до 1. Сила, прикладываемая к тележке зависит от этого сигнала следующим образом:

:F(t)=F_{max}u(t) , где u(t)- закон изменения сигнала управления во времени.

Ввел же этот новый сигнал, я только для того, чтобы в дальнейшем было проще перейти к аналогичному управлению объектами произвольной природы.

На этом знакомство с простым объектом управления можно считать состоявшимся и пора приступить к разработке системы автоматического регулирования, о чем пойдет речь в следующей статье, которая так и называется “Из чего состоит система управления“.

Введение<< Оглавление >>Из чего состоит система управления

Комментарии (4) на “Лиха беда начало. Самый простой объект управления.”

  • LEXA:

    Я понимаю, что задача написать “ТАУ для чайников” не стояла, но если эта глава начинает погружение в теорию, то она слишком скомканная получилась.
    Перечитай Перельмана (Якова Исидоровича) “Занимательная …” (математика, физика и т.д.). Мне нравится его подход: мягко и ненавязчиво вводит читателя в самые научные дебри.

  • admin:

    Писать для детишек я еще не умею. Многие вещи здесь для меня самоочевидные, со всеми вытекающими:) По честному , я даже не понимаю как навязчиво и мягко рассказать взрослым людям об математической модели тележки.
    А на самом деле это материал для третьего курса Военмеха.
    Критика есть, жду теперь cоветов;))

  • Aleksandr:

    Здравствуйте!
    Занимаюсь программированием климатических камер.
    Регулировка температуры и влаги не слишком отличается от управления тележкой, поэтому ваша книга оказалась как нельзя кстати.
    Давно хотелось разобраться в пид регуляторах, и написать свой (может даже с автоподстройкой), надеюсь ваша книга мне в этом поможет.

  • Командор:

    В скором времени я обязательно напишу про дискретный ПД регулятор. А вот к ПИД регуляторам у меня свой подход, аналогичный адаптивным системам с сигнальной самонастройкой. Об этом тоже скоро напишу

Оставить комментарий

Improve Your Life, Go The myEASY Way™