Войти

Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения

При разработке различных систем, для более простого представления, обычно используют величину, называемую «ошибкой регулирования» или просто «ошибкой». Эта величина определяет, насколько далеко объект управления отстоит от заданного состояния. В примере управления тележкой, эта величина будет обозначать то оставшееся расстояние, которое тележке осталось пройти, что бы попасть в заданное положение.

Таким образом, ошибка регулирования есть разность между заданной и настоящей координаты системы:  e=x_g -x ,где  e – ошибка регулирования.

В некоторой литературе эту величину еще называют «невязкой» или «рассогласованием». Если ошибка положительна, значит тележке еще предстоит переместиться в заданном направлении. Если она отрицательна, значит тележка находится уже за заданной координатой и ей необходимо переместиться в обратном направлении. Когда тележка двигается в заданном направлении, сокращая оставшееся расстояние до заданной координаты, абсолютное значение ошибки регулирования уменьшается. Из этого следует, что производная ошибки по знаку противоположна производной координаты: \dot{e}=\dot{x} .

Обратим внимание, при расчете производной ошибки не учитывается производная заданной координаты x_g. То есть при анализе движения полагается, что заданное положение тележки постоянно во времени:  x_g=const .  Это вынужденная мера, так как производная заданной координаты может принимать какие угодно большие значения и в общем случае не имеет ни каких физических ограничений. Например, в какой то момент времени, в соответствии с технологически процессом, заданное положение тележки может скачкообразно измениться на любую допустимую величину. В этот момент времени производная заданной координаты по определению не существует. Для того чтобы не смешивать реальные физические процессы с поведением оператора, во всех расчетах, заданная координата считается константой.

Второй важный момент состоит в определении ЦЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ. Критерий в данном случае очевиден – ошибка регулирования должна как можно быстрее стремиться к нулю.

Рассмотрим физические законы, описывающие движение тележки в момент торможения.

\dot{e}(t)=-\dot{x}(t)=-\dot{x}_T - \frac{F_T}{m}t=\dot{e}_T- \frac{F_T}{m}t,

e(t)=x_g-x(t)=x_g-x_T-\dot{x}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^2}{2}=e_T+\dot{e}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^{2}}{2},

где e_T- ошибка регулирования на момент начала торможения, \dot(e)_T- производная ошибки на начало торможения, F_T- сила торможения.

В конце торможения тележка останавливается (то есть производная координаты равна нулю) в заданном положении:  \dot{x}(t_k)=0,  x(t_k)=x_g, где t_k- время торможения.

Из этого следует:  \dot{e}(t_k)=-\dot{x}(t_k)=0 , e(t_k)=x_g-x(t_K)=0.

Из законов торможения следует следующая система уравнения:

0=\dot{e}_T-\frac{F_T}{m}t,  0=e_T+\dot{e}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^{2}}{2}.

Выразим время из первого уравнения и подставим во второе:

\dot{e}_T=\frac{F_T}{m}t_k\rightarrow t_k=\dot{e}_T\frac{m}{F_T},

o=e_T+\dot{e}_T\dot{e}_T\frac{F_T}{m}-\frac{F_T}{m}\frac{1}{2}(\dot{e}_T\frac{m}{F_T})^2=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_T}\dot{e}_T\dot{e}_T.

Теперь разберемся с силой торможения. Очевидно, что ее направление будет противоположно скорости движения тележки. Например, если тележка двигалась в положительном направлении, то производная ее координаты на момент торможения больше нуля, а сила торможения будет иметь отрицательный знак: F_T=-F_{max}, \dot{x}_T>0. (Не забываем, что рассматриваем релейный алгоритм – тормозим тележку с максимально возможной силой ). Если же тележка двигалась в обратном направлении, то сила торможения будет иметь положительный знак:  F_T=+F_{max}, \dot{x}_T<0.

Совместно эти два правила записываются следующим образом:

F_T=-sign(\dot{x}_T)F_{max}=sign(\dot{e}_T)F_{max},

где sign- «сигнатура»- функция, обозначающая знак величины. В частности, справедливо следующее выражение: y=sign(y)|y|, где y-любая знакопеременная величина, а |y|- «модуль»- абсолютное значение этой величины. Возвращаемся к нашим уравнениям и подставляем выражение для силы торможения:

0=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_T}\dot{e}_T\dot{e}_T=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{sign(\dot{e}_T)F_{max}}\dot{e}_Tsign(\dot{e}_T)|\dot{e}_T|=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_{max}}\dot{e}_T|\dot{e}_T|.

Таким образом, что бы определить, сможем ли мы за одно включение торможения остановиться в заданной координате нам необходимо, проверить, что текущая ошибка и ее производная соответствует следующему ЗАКОНУ ТОРМОЖЕНИЯ, который имеет очень важные следствия для реализации системы управления. Пока запомним его, обведем в рамку и повесим на стене:

image026.

Физический смысл закона торможения состоит в том, что если объект управления, рассматриваемый как материальная точка, находится в состоянии, удовлетворяющему этому закону, то регулятор должен переключиться в режим торможения и тогда за одно включение торможения объект управления остановится в заданной координате.

На самом деле, если в данный момент времени, ошибка имеет некоторое значение  e, а ее производная –  \dot{e} и они соответствуют приведенному выше закону, то очевидна справедливость подстановки  e=e_T,  \dot{e}=\dot{e}_T, которая приводит нас к системе уравнений, обеспечивающей остановку объекта управления в заданной координате. Хочу обратить ваше внимание на то, что закон торможения следует из закона сохранения кинетической энергии. Теперь, осталось дело за малым – заставить объект управления попасть в состояние, соответствующее закону торможения.

Быстрее! Сильнее! Точнее!<< Оглавление >>Рисуем фазовый портрет

Комментарии (2) на “Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения”

  • octopus:

    здравствуйте. А может просто описать что такое шаговый двигатель и как им управлять? Цепляем к тележки и опытным путём выясняемым сколько шагов до заданной точки двигателю нужно сделать. Сейчас же всё должно быть проще.)))

  • admin:

    На самом деле применение шагового мотора все упрощает, но только в одном случае, когда момент шагового двигателя таков, что он в состоянии остановить разогнанную тележку в пределах половины одного шага, то есть M*D/2>m*(V^2)/2?
    где М-максимальный момент двигателя, D-шаг двигателя (угол), m- масса тележки, V-скорость движения тележки.

Оставить комментарий

Improve Your Life, Go The myEASY Way™